MA211 - 2° Semestre 2026 - noturnas XY

Cálculo II

Prof. Dr. Joa Weber pesquisa - desempenho

Calendário DAC

aula: 2a 19-21h   sala CB-03
          2a 21-23h   sala CB-03

classes de exercícios: 6a 19-21h
                               turma X CB-13 (???) começo 21 Ago atualizado 14 Ago 18h00
                                     turma Y CB-12 (Alejandro) começo 14 Ago

            monitorias:   horários (livre escolha)

3/24
Aprovação Regras <-- Ementa

Exercícios <--

Provas P1 P2 P3 na classe de exercícios exclusivamente da sua turma (sala errada: 0 pontos)
              P1 6af 18 Set    Turma X: CB-13 Turma Y: CB-12
              P2 6af 23 Out   Turma X: CB-13 Turma Y: CB-12
              P3 6af 27 Nov   Turma X: CB-13 Turma Y: CB-12
      EF/2aC 4af 09 Dez   (sala/horário da aula)

Conteúdo relevante para as provas é o conteúdo das aulas.
Matemática é uma disciplina vertical: Assistir as aulas e fazer os exercícios continuamente é necessário para passar as provas.

Bibliografia

J. Stewart, Cálculo, vol.2, São Paulo, Pioneira /Thomson Learning.
H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vols, II&III, LTC, 5a. Edição, 2002.
E. L. Lima, Curso de Análise, Vol 2, projeto euclides, 11.ed., IMPA, 2011.

Últimas notícias

Não haverá provas substitutivas. O aluno que não comparecer a uma das provas deverá fazer dois passos:

seguir este catálogo de instruções da DAC;
no prazo de 7 dias, a partir da data da prova,
entregar pelo E-mail ao professor este formulário de pedido de segunda chamada
acompanhado de comprovante que justifique a falta.

A Segunda Chamada (2aC) e o Exame Final (EF) versarão juntas e sobre o conteúdo integral das aulas do curso.

História do semestre

Extras - cortesia do Professor. Decidí colocar informacões sobre umas aulas na forma de somários (extra X) ao lado dos § embaixo. Isso é um extra, não é parte obrigatório do curso, ninguém precisa acessar.

Conteúdo das aulas nesta ordem:

I Derivadas Parciais

§1 Funções de Várias Variáveis extra 1

domínio, imagem, métodos de descrever funções: -tabela -fórmula -gráfico -curvas de nível,

§2 Limites e Continuidade extra 2 18/08/26

            propriedades de limites de sequências (soma, produto, etc), limite f(x), lim f(x) ao longo caminho,
            f contínuo em a, exemplos: -polinômios -fnçs. racionais -compostas

    §3    Derivadas Parciais extra 3

f_x(a,b):=g'(a) g(x)=f(x,b), interpretação geométrica como inclinação de uma tangente, superfícies definidas implicitamentes
derivadas parciais de ordem superior k, f de classe Ck, teorema de Clairaut/Schwarz, EDPs: -Laplace -onda

§4 Diferenciabilidade (veja Guidorizzi 2 §11) extra 4

            diferenciabilidade de f(x,y) num ponto (a,b), relação com as derivadas parciais,
            plano tangente T_p S, approximação linear L, diferencial df

    §5    Regra de Cadeia, Teorema da Função Implícita, Derivadas Direcionais, Vetor Gradiente extra 5

            regras de cadeia I & II, teorema da função implícita (TFI), derivada direcional, (maior/menor) taxa da variação de f na direção v,
            vetor gradiente, superfícies de nível -plano tangente -vetor normal -reta normal, valor regular e crítico

    §6    Valores máximo e mínimo   extra 6 4/4/25

            máximo/mínimo local/absoluto estrito, pontos críticos, plano tangente a um gráfico num ponto crítico,
            teste da 2a derivada, conjunto fechado/limitado, teorema do valor extremo

    §7    Multiplicadores de Lagrange   extra 7 4/4/25

uma restrição -2 variáveis -3 variáveis -n variáveis

§8 Fórmula de Taylor extra 8 9/4/25

Duas variáveis: TVM (teorema da valor médio), gradiente nulo, conexo por caminho,
polinômio de Taylor de ordem 1, fórmula de Taylor com resto Lagrange

II Integrais Múltiplas

§1 Integrais Duplas sobre Retângulos

            integrais duplas, volumes, valor médio, linearidade

    §2    Integrais Iteradas

            integração parcial, integrais iteradas, Teorema de Fubini

    §3    Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

            definição, regiões D tipo I II, fórmulas como integral iterada

    §4    Integrais Duplas em Coordenadas Polares

            coordenadas polares, retângulos polares, fórmula integral dupla em coordenadas polares

    §5    Área de Superfície S=gr(f)

conjunto compacto, definição área(S), fórmula área(S) como integral dupla

§6 Integrais Triplas

integrais triplas, Teorema de Fubini, regiões E tipo I II III, fórmulas como integral iterada, linearidade

§7 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

coordenadas cilíndricas, fórmula integral tripla em coordenadas cilíndricas

§8 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

coordenadas esféricas, fórmula integral tripla em coordenadas esféricas

§9 Mudança de Variáveis

injetivo, sobrejetivo, bijetivo, inversa, a derivada, o Jacobiano, invertibilidade, fórmula mudança de vars. em integrais duplas e triplas

III Cálculo Vetorial

§1 Campos Vetoriais (CV) extra 17

campos vetoriais (CV) F, exemplos (gravitação, força elétrica), CV gradiente ∇ f, CV conservativo (F=∇ f) e função potencial f

    §2    * Integrais de Linha *   extra 18
            curva C, curva parametrizada r : [a,b] -> Rⁿ, curva parametrizada suave r (C¹ e 'sem pausa'), curva suave C

    A) Integral linha em resp. ao comprimento de arco s
            ∫C

f(x,y) ds área da superfície S entre C e gr(f |_$C$) no caso f≥ 0

- fórmula ∫C

f(x,y) ds = ∫𝑏𝑎f(r(t))|r˙(t) |dt onde r : [a,b] -> Rⁿ é (qualquer) uma curva parametrizada suave com imagem Im(r) = C
- comprimento de uma curva L(C) := ∫C

1 ds = ∫𝑏𝑎|r˙(t) |dt, Im(r) = C
- a função comprimento de arco s
- curva suave por parte

C =

C_{1} \cup

... \cup

C_{k}

onde cada curva

X_{i}

é suave

B) Integral linha em resp. à coordenada x (ou y)
∫C

f(x,y) dx (ou dy) área da projeção ao plano-xz (ou -yz) da superfície S em A)

- fórmula ∫C

f(x,y) dx = ∫𝑏𝑎f(r(t))x˙(t) dt e analogamente para dy
            - a parametrização padrão r : [0,1] -> Rⁿ do segmento entro dois pontos A e B de Rⁿ é r(t) = (1-t)A+tB = A+t(B-A)

    C) Integral linha de campos vetoriais
           ∫C

F · T ds onde T é o campo tangente unitário a C (notação alternativa: ∫C

F · dr)

- fórmula ∫C

F · dr = ∫C

F(x,y) dx + ∫C

F(x,y) dy onde

X_{i}

r=(x,y) parametriza C suavemente e F = (

F_{1}

F

_{2}

)
- energia ganhada/perdida num campo F ao longo caminho C

§3 Teorema Fundamental da integral de linha

teorema fundamental (integr. da linha), def: caminho (curva suave por partes), def: integr. linha independente do caminho

A) Independência do caminho

            - def: caminho fechado - def: subconjunto conexo por caminho - critério para F seja um campo gradiente (F=∇ f)

    B) Como saber se um campo vetorial F é um gradiente?

            - def: curva simples - def: subconjunto simplesmente conexo (1-conexo) - critério para F=(P,Q) seja um campo gradiente (F=∇ f)
            - exemplo: Dado F(x,y)=(3+2xy,x²-3y²), temos determinado f(x,y) tq F=∇ f usando "integração parcial" várias vezes

    §4    Teorema de Green (Teorema Fundamental da integral dupla no plano)

- Green: Dado campo vetorial F=(P,Q) no plano R²

\supset

continuamente diferenciável,
dado subconjunto D⊂R² cuja fronteira C=

\partial

D é uma curva fechada, simples, e orientada positiva (D está na esquerda na viagem ao longo de C),
então ∫∫ D

(

X_{i}

X_{i}

) dA = ∫C

(Pdx + Qdy) cuidado: na direita é uma some de duas integrais *linhas*

notação alternativa (§5): ∫∫ D

\nabla \times F = \hat{r},

dA = ∫C

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

- área atraves de integral linha: Dado subconjunto D ⊂ R² com fronteira C=

\partial

D, então
área(D) = ∫C

x dy = -∫C

y dx cuidado: são integrais *linhas* prova: Green com (P,Q)=(0,x) e (P,Q)=(-y,0)

§5 Rotacional e Divergente

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

onde

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

\nabla \cdot r = \nabla \cdot (\nabla \times F) = 0 .

    §6    Superfícies (SF) e suas Áreas

            ..

    §7    * Integrais de Superfície *

..

§8 Teorema de Stokes

..

§9 Teorema do Divergente

Bibliografia

J. Stewart, Cálculo, vol.2. 5a., 6a. ou 7a. ed. São Paulo, Pioneira /Thomson Learning.
H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vols, II&III, LTC, 5a. Edição, 2002.
E. L. Lima, Curso de Análise, Vol 2, projeto euclides, 11.ed., IMPA, 2011.
L. Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. II, 3ª Edição, Harbra 1994.
T. Apostol Cálculo Vol 2. II Ed. Reverté Ltda, 1981.

Prof. Dr. Joa Weber
sala 318
IMECC UNICAMP
e-mail: joa(at)math.uni-bielefeld.de
fone: ++55 +19 352-16021
hora de atendimento: 2a-feira 18-19h (começando dia 17 de Agosto 2026)

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